La suma de dos nùmeros es 106 y el mayor excede al menor en 8. Hallar los dos números.
Para resolver cualquier problema con las herramientas del ÁLGEBRA se recomienda seguir los siguientes pasos:
1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver)
2.- IDENTIFICAR LAS INCÓGNITAS (Asignar letras a las cantidades desconocidas)
3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando números para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas.
5.- COMPROBAR LOS RESULTADOS (Introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen)
Veamos el ejemplo!
LEA CON DETENIMIENTO EL PROBLEMA
1.- IDENTIFICAR EL PROBLEMA (Tener una idea precisa de lo que debemos o queremos resolver)
2.- IDENTIFICAR LAS INCÒGNITAS (Asignar letras a las cantidades desconocidas) Se nos pide determinar o hallar dos nùmeros conociendo el producto de su suma y la diferencia de valor entre ambos. Identificado como ha sido el problema, debe tener claro que el mismo presenta dos incògnitas (2 nùmeros desconocidos), las “bautizamos” como: X = Nùmero menor. Y = Nùmero mayor.
3.- EXPRESAR EL PROBLEMA EN LENGUAJE ALGEBRAICO (Construir ecuaciones utilizando números para las cantidades conocidas y letras para las cantidades desconocidas. Las letras serán las indicadas en el paso anterior) La suma de dos números es 106: (Recuerde que los dos números fueron “bautizados” como “X” y “Y”) X + Y = 106 (1) El nùmero mayor excede al menor en 8 : ( El nùmero mayor fue “bautizado” como “Y” y el menor como “X”) Y = X + 8 (2) El problema queda reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas situación conocida y manejada por todos los estudiantes de este nivel. Verifique siempre que el sistema de ecuaciones planteado abarque totalmente la condiciòn del problema.
4.- RESOLVER EL PROBLEMA (Resolver la ecuaciòn o sistema de ecuaciones con la herramienta adecuada) Existen tres mètodos para resolver un SISTEMA DE ECUACIONES, a saber: el mètodo de IGUALACIÒN, el mètodo de SUSTITUCIÒN y el mètodo de REDUCCIÒN. Para aclarar cualquier duda sobre sistemas de ecuaciones consulte las pàginas 321, 322, 323, 340 y 341 del ALGEBRA DE BALDOR. Con la hoja de càlculo EXCEL podemos resolver cualquier sistema de ecuaciones utilizando una de sus herramientas llamada SOLVER. Para facilitar el contenido didàctico de este trabajo se procederà a resolver este problema utilizando los tres mètodos indicados:
MÈTODO DE S U S T I T U C I Ò N El problema quedò reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incògnitas: X + Y = 106 (1) Y = X + 8 (2) Como su nombre lo indica este mètodo consiste en SUSTUTUIR una ecuaciòn dentro de la otra, la forma màs fàcil consiste en escoger la ecuaciòn que presente una sola de las incògnitas de un lado de la igualdad y sustituir su valor en la otra ecuaciòn: Sustituyendo la ecuaciòn (2) en la ecuaciòn (1): X + (X+8) = 106 ; X + X + 8 = 106 ; 2X = 106 - 8 2X = 98 ; X = 98 ÷ 2 X = 49 Si X = 49 y Y = X + 8 ; Y = 49 + 8 Y = 57
MÈTODO DE R E D U C C I Ò N El problema quedò reducido a un sistema de dos ecuaciones con dos incògnitas: X + Y = 106 (1) Y = X + 8 (2) Este mètodo consiste en relacionar las dos ecuaciones y obtener una con una sola incògnita de manera que permita hacer un despeje sencillo. En este caso la ecuaciòn (2) puede ser indicada como - X + Y = 8 Sumando las dos ecuaciones: Generalmente dicha relaciòn se realiza efectuando la suma algebraica de las dos ecuaciones, para lo cual es necesario colocar las incògnitas en la misma secuencia dentro de la ecuaciòn, es decir: primero la X , despuès la Y, la igualdad y el termino independiente. X + Y = 106 - X + Y = 8 2Y = 114
MÈTODO DE R E D U C C I Ò N Si Y = 57 y X + Y = 106 ; X + 57 = 106 X = 106 – 57 ; X = 49 2Y = 114 ; Y = 114 ÷ 2 ; Y = 57 Observe que los resultados son similares a los obtenidos con el mètodo anterior.
MÈTODO DE I G U A L A C I Ò N X + Y = 106 es equivalente a Y = 106 - X En este mètodo se procede a igualar las dos ecuaciones existentes para hallar una sola ecuaciòn con una incògnita y facilitar el despeje y determinaciòn de su valor. Para poder realizar el procedimiento señalado anteriormente es necesario que las ecuaciones presenten de alguno de los dos lados de la igualdad la misma incògnita en forma individual. Como la ecuaciòn (2) refleja el valor de “Y”, proceda a indicar la ecuaciòn (1) de manera similar: Igualando Y = 106 – X con la ecuaciòn (2) Y = X + 8 Tendremos que 106 – X = X + 8 ; 106 – 8 = X + X 98 = 2X ; X = 49 Si X = 49 y Y = 106 – X ; Y = 106 – 49 ; Y = 57
5.- COMPROBAR LOS RESULTADOS (Introducir los resultados obtenidos en las ecuaciones planteadas y verificar que se cumplen) En los tres mètodos explicados el resultado obtenido fue el mismo: X = 49 ; Y = 57 La suma de dos nùmeros es 106 : 49 + 57 = 106 El número mayor excede al menor en 8 : 57 = 49 + 8
ING. JOSE LUIS ALBORNOZ
